Простую форму обычно определяют как совокупность граней  кристалла эквивалентных по его кристаллическому классу. Такое определение не вскрывает геометрических особенностей простых форм, не выявляет их связей с другими типами многогранников. Для выявления этих связей введем понятие целочисленного многогранника, которым часто пользуются в вычислительной математике.     

Определение 1. Многогранник называется целочисленным, если                         

                           можно подобрать такой репер, что все его вершины                            

                           будут иметь целые координаты в этом репере.

Теорема 1. Группа преобразований симметрии любого целочислен-

                   ного многогранника совпадает с одним из 32 кристалли-                      

                   ческих классов.

Доказательство. Построим решетку Т на репере, выбранном по опре-

делению 1. При любом преобразовании симметрии, переводящем многогранник в себя, исходная решетка Т перейдет в некоторую решетку  Т' ‘. Поскольку вершины многогранника входят как в Т так и в Т' ‘, эти две решетки имеют общую совокупность точек. Но пересечение двух решеток есть решетка. Следовательно, эта общая совокупность точек является подрешеткой решеток Т и Т' ‘одновременно. При повороте многогранника эта подрешетка переходит в себя. Значит, всякий поворот целочисленного многогранника есть поворот некоторой решетки. Каждому повороту соответствует своя решетка. Пересечение  их дает решетку, переходящую в себя при любом повороте целочисленного многогранника, т.е. эти повороты образуют группу, эквивалентную одному из 32 кристаллических классов.

     Определение 2. Простой формой кристалла называется целочислен-

                          ный многогранник с эквивалентными по его группе

                          симметрии гранями.

    Возможно, что это определение упрощается, а именно: простой формой называется целочисленный многогранник с равными гранями, т.е. простая форма определяется без группы. Но доказать это пока не удается. (Тема курсовой работы)

Определение 3. Две простые формы кристалла относятся к одному

                           типу, если они комбинаторно одинаковы и обладают

                           одинаковыми полными группами симметрии.

Теорема 2. Существует 47 типов простых форм кристаллов.

       Изящный вывод 47 типов простых форм кристаллов получается при использовании нормализаторов кристаллических классов.

Определение 4. Полная совокупность преобразований симметрии,

                           переводящих в себя элементы симметрии всех прео-

                           бразований симметрии данного кристаллического

                           класса, называется нормализатором этого кристал-                       

                           лического класса.

Образно говоря, нормализатор кристаллического класса это симмет-

рия элементов симметрии кристаллического класса. 32-м кристалли-

ческим классам соответствуют 7 различных нормализаторов:       

            ¥m            1, i

            ¥/mm         2, 3, 4, 6, m, 2/m, 3i, 4/m, 6/m, 4i, 6i

       12/mmm      6/mmm, 622, 6mm

         8/mmm      4/mmm, 422, 4mm

         6/mmm      6im2, 3im, 32, 3m

         4/mmm      mm2, 4i2m

            m3m       mmm, 222, m3m, 432, 4i, 3m, m3, 23 .

Определение 5. Точной независимой областью группы называется сово-   

                           купность точек пространства, не содержащая эквивалент-             

                           ных по группе точек, но каждая точка пространства экви-                                        

                            валентна точке этой совокупности.

     Поскольку кристаллические классы (за исключением m3m) являются подгруппами соответствующих им нормализаторов, независимые области кристаллических классов складываются из независимых областей нормализаторов. Число независимых областей нормализатора, составляющих независимую область кристаллического класса, равно индексу кристаллического класса в соответствующем ему нормализаторе. Эквивалентные по нормализатору простые формы геометрически неразличимы.

      Таким образом, все геометрически различимые простые формы  находятся в независимой области нормализатора. Эта область является симплициальным гоноэдром: одномерным - в случае нормализатора        ¥m, двумерным - в случае нормализатора     ¥/mm и трехмерным - в случае остальных нормализаторов. Сферу единичного радиуса (сферу проекций) эти области пересекают по точке, дуге и сферическому треугольнику, соответственно. Поэтому если строить классификацию простых форм кристаллов с точностью до гомотетии (которая не меняет типа простой формы), то достаточно обойтись простыми формами, находящимися на вышеперечисленных пересечениях.   

Р.В.Галиулин.  Кристаллография 1999 г., т.44 №5, с.775-785.