ПОСВЯЩАЕТСЯ:
150-летию
Андрея Петровича Киселева (1852-1940);
150-летию
Евграф Степановича Федорова (1853-1919).
Наглядность геометрических объектов
помогает обнаруживать и угадывать многие геометрические
факты прежде, чем они будут точно доказаны. А.П.Киселев.
КАКИМ ДОЛЖЕН
БЫТЬ СОВРЕМЕННЫЙ УЧЕБНИК ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
Р. В.Галиулин, Институт
кристаллографии РАН, Москва galiulin@ns.crys.ras.ru
Около 100 лет в нашей стране непререкаемым авторитетом
пользовался учебник геометрии А.П.Киселева (1852-1940), оказавший серьезное
влияние на всю нашу культуру. И не надо было бы так обвально от него
отказываться. Тем более что современные учебники геометрии уступают своим
предшественникам не только в культуре изложения, но и в понимании излагаемого
самими авторами. Например, В.Г.Болтянский на странице 159 в своей
"Элементарной геометрии" пишет, что группа самосовмещений куба
является также одной из 230 федоровских групп, демонстрируя этим полное
непонимание излагаемого предмета. Воспитанные на таких учебниках, даже
первоклассные математики иногда пасуют перед задачами, которые в свое время
входили в школьные задачники. Лет 10 назад я консультировал выпускника кафедры
дифференциальных уравнений Мех. Мата МГУ (П.Н.Антонюк) по следующему вопросу:
на какие многогранники может распадаться однородное взрывчатое вещество в
первый момент взрыва. Он полагал, что это куб, гексагональная призма,
ромбододекаэдр, архимедов усеченный октаэдр, но не мог доказать полноту этого
списка. Каково же было его удивление, когда он обнаружил искомое доказательство
в задачнике Делоне [1], а его список оказался вдобавок и не полным. 5-ый такой многогранник (удлиненный
додекаэдр) был найден выдающимся кристаллографом Е.С.Федоровым (1853-1919) и представлен в его знаменитой книге [2,
фиг.111]. Работу над которой он начал в
16-летнем возрасте, будучи юнкером Николаевского военно-инженерного училища.
Буквально через пару месяцев после этой консультации ко мне
из Казани приехал другой математик, М.Ш.Якупов (1936-1999). Читая на кафедре
теории относительности лекции по уравнениям математической физики, он обнаружил,
что если в некоторых из этих уравнений точки заменять кубами, то они сильно
упрощаются. А некоторые другие уравнения упрощаются при замене точек
гексагональными призмами [3]. И он захотел иметь полный набор таких
многогранников.
Король геометрии 20-го века Б.Н. Делоне (1890-1980) эти 5
многогранников называл телами Федорова [4], подчеркивая этим, что они имеют
такое же значение, как и тела Платона и
Архимеда. Борис Николаевич считал Федорова выдающимся интуитивным геометром.
Однако, Федоров не чуждался и других областей математики [5]. О своем же
учебнике Делоне говорил, что он старался включать в задачник только те задачи,
которые имели принципиальный геометрический интерес, чтобы не расхолаживать
школьников всякими выдумками . Но при этом строгость изложения материала не
должна превалировать над его доступностью. Это между прочим, главное отличие
учебников Киселева от современных, родивших новую форму репетиторства, как
извращенную форму образования.
Но можно ли в принципе создать
такой учебник, который действительно касался бы современных фундаментальных
проблем науки, и так, чтобы они оказались доступными для понимания школьника?
Эта проблема в первом приближении уже решена доктором педагогических наук
И.М.Смирновой , дерзнувшей создать гуманитарный учебник геометрии [6].
Гуманитарный аспект изложения делает главный акцент на то, как человечество
пришло к интересующей проблеме. Например, теорема Пифагора становится
очевидной, если вспомнить, известный еще в Древней Индии практический факт: квадрат,
построенный на диагонали данного квадрата, имеет площадь в два раза большую,
чем исходный квадрат. Симметрия равнобедренного треугольника упрощает задачу. В
этом и заключается общий смысл симметрии. Он и был уловлен уже древнейшими
культурами. Чем симметричней рассматриваемый объект, тем проще с ним работать,
тем чаще с ним встречаешься. Тела Платона – это самые симметричные
многогранники, поскольку в них все симметрично и расположение вершин, и
расположение ребер, и расположение граней и сами грани - правильные
многоугольники. Поэтому они и были выделены человечеством самыми первыми. А
Архимед сначала пытался найти 6-е такое тело и только после осознания глупости
своих попыток, снизил требования на симметрию – разрешил неодинаковость граней,
сохраняя их правильность и эквивалентность вершин. Поэтому введение 14-го тела
Архимеда, для которого не выполняется эквивалентность вершин, равносильно невозможным фигурам, которыми
ломает мозги школьникам “АВАНТА”.
Федоров к телам Платона и Архимеда добавил две бесконечных
серии призм и антипризм с правильными гранями и назвал все это полуправильными
изогонами. Многогранники, дуальные к телам Архимеда и двум бесконечным сериям,
называются телами Каталани. Вместе с телами Платона они представляют все правильные
разбиения двумерной сферы – сферические паркеты. Аналогичная проблема имеет
место и для евклидовой плоскости – это теория правильных паркетов, которая уже
вошла в школьные учебники [7] и которая, как ни странно до сих пор не освоена
преподавателями кристаллографии даже в МГУ. А ведь это царский путь, вплотную
приближающий учащихся к современным геометрическим исследованиям.. Следующий
шаг - это построение на паркетине компактного локально-евклидова многообразия
(тор, лента Мебиуса, бутылка Клейна и их аналогов с особыми точками). Теория
этих многообразий уже вышла за пределы математики. Имеются попытки моделировать
ими отдельные атомы и даже Таблицу Менделеева в целом [8]. Японцы уже
практически получили нанокристалл в виде ленты Мебиуса [9], Интересующее
современных материаловедов нанокристаллическое состояние и есть компактное
локально-евклидово многообразие.
Для полного представления
планиметрии осталось только рассмотреть паркеты на плоскости Лобачевского и,
основываясь на симметрии многоугольников, ввести в школьный курс группы
преобразований симметрии. Отдельные преобразования симметрии уже
рассматриваются в школьных геометриях. А стереометрия должна подвести учащихся
к многомерной геометрии путем обобщения планиметрии
Учебники Смирновых помогли автору
этих строк осознать, что современные геометрию, топологию и алгебру в принципе
нельзя изложить без понятия правильности. Это было уже сделано Федоровым [2].
Но, как отмечал Делоне, было бы делом чести для математиков пересмотреть
“Начала” Федорова. Многое в них до сих пор остается неосознанным, возможно даже
и самим автором. Федоров начал писал свои “Начала” в 16-летнем возрасте, т.е.
по современным меркам, учеником 10-го класса.
Все это относится и к другим,
менее абстрактным наукам – физике, химии, геологии, биологии. Симметрийный
(точнее, теоретико-групповой) подход к основам мироздания, синтезирующий три
самых ярких достижения науки 19-го века (Лобачевский, Менделеев, Федоров),
становится превалирующим в развитии всей науки 21-го века и естественно
вписывается в школьные программы. Эварист Галуа (1811-1832) рассматривал свою
теорию не как математическую, а как новый (групповой) способ мышления.. Заметим
теперь, что у Галуа был предшественник, тоже Парижанин, Рене Жюст Гаюи
(1743-1822). Галуа перед дуэлью написал: корни алгебраического уравнения
образуют семейства. За 30 лет до него Гаюи в своем учебнике “Минералогия”
написал: грани на кристалле образуют семейства. Семейства эти одни и те же –
группы. Наполеон, познакомившись с учебником Гаюи, попросил автора написать
учебники физики и математики, дабы и эти науки сделать такими же прозрачными,
каковой он сделал минералогию (это укор современным физикам и математикам,
которые считают кристаллографию – носительницу теории симметрии - экспериментальной
наукой). Профессор физики Гаюи написал учебник физики. Но спасаясь от
гильотины, как бывший сторонник Наполеона, не смог внедрить его в преподавание.
А за математику он и не принимался. Это сделал Федоров своими
"Началами".
Учитывая вышесказанное, современная планиметрия для школьников
должна содержать следующие параграфы:
Одномерная
евклидова геометрия.
Точка как нульмерная геометрия;
Числовая прямая как одномерная
решетка;
Параллельные переносы и
отражения,
Одномерные федоровские группы;
Одномерные правильные системы
точек;
Отрезок повторяемости;
Одномерные позиции Уайкова;
Группа, подгруппа, фактор-группа,
Одномерные черно-белые и цветные
ожерелья;
Карбины как одномерные евклидовы
кристаллические структуры углерода.
Произвольные расположения точек
на прямой;
Разбиения прямой;
Правильные разбиения прямой
Покрытия прямой отрезками;
Радиус дискретности;
Радиус покрытия;
Одномерные системы Делоне;
Правильные системы Делоне;
Бордюры;
Одномерная
сферическая геометрия.
Правильное склеивание числовой
прямой в окружность;
Оси симметрии;
Федоровские группы на одномерной
сфере;
Позиции Уайкова для сферических
одномерных федоровских групп;
Правильные многоугольники как
правильные системы на одномерной сфере;
Полуправильные многоугольники
Одномерные сферические (круговые)
системы Делоне;
Разбиения круга;
Разбиения Дирихле;
Правильные разбиения круга;
Сажи как одномерные структуры
углерода.
Сферическая
планиметрия
Правильные системы точек на
сфере;
Федоровские группы на двумерной
сфере (точечные группы)
Конечные и бесконечные группы;
Тела Платона;
Тела Архимеда;
Многогранник Ашкинузе
Двойникование многогранников
Многогранники Залгаллера.
Триангуляция Делоне
Разбиение Делоне;
Разбиения Дирихле
Правильные разбиения сферы;
Позиции Уайкова;
Стабилизаторы;
Паркеты на сфере;
Вывод паркетов с помощью фомулы
Эйлера;
Тела Каталани;
Изогоны и изоэдры;
Фуллерен С-60.
Евклидова
планиметрия
Двумерные системы Делоне
Метод пустого шара
Разбиения Делоне и Дирихле.
Общие разбиения.
Мезосферические многоугольники.
Упаковки, покрытия и разбиения
плоскости;
Теорема о разбиении плоскости на
любые четырехугольники.
Симметрия треугольников.
Теорема Пифагора для
равнобедренного прямоугольного треугольника.
Параллелогоны и планигоны
Сорта Делоне двумерных решеток.
Шаровые упаковки
Сетки Кеплера;
Сетки Шубникова:
Сетки Делоне;
Двойникование сеток.
17 федоровских групп на плоскости
Теорема о параллельных переносах;
Типы Браве двумерных решеток
Арифметические классы [10].
Геометрическая теория цепных
дробей [11].
Симморфные и несимморфные
федоровские группы;
Стабилизаторы;
Позиции Уайкова;
Гиттеркомплексы.
Компактные локально-евклидовы
многообразия
(тор, бутылка Клейна, лента
Мебиуса)
Рисунки Эшера;
Локальная теорема
4R-теорема Штогрина
Теореа Штогрина о планигонах
Дирихле.
Числа Гаусса.
Мавританские орнаменты; (Белов )
Кристаллографические узоры Мамедова
Структура графита.
Планиметрия
Лобачевского.
Правильные разбиения плоскости
Лобачевского
Федоровские группы пространства
Лобачевского.
Бесколодочный раскрой обуви как
пример задачи, использующей
три геометрии одновременно [12].
Этот раздел может быть изложен по
книге Делоне [13].
Как выглядит плоскость Лобачевского в евклидовом
пространстве - это уже вопросы стереометрии, в которую попадает также теория
изгибаемых многогранников [14].
И это далеко не полный список
всего, что может быть получено, основываясь на фундаменте теории правильности.
Федоров очень удачно перевел западный термин "regular" как "правильный", от слова
"право" или "равноправие", что дает возможность
использовать его не только в естественных науках, но и в гуманитарных,
подчеркивая тем самым гуманитарность математического и физического знания.
Заметим также, что изложенного
материала вполне достаточно для доказательства устойчивости кристаллических
структур, что в полном объеме до сих пор не могут сделать современными
физическими и математическими методами. Современную физику в принципе нельзя
изложить без глубокого использования кристаллографии. Как показал А.А.Власов
даже в таких экзотических состояниях как плазма. существует федоровская
симметрия [15]. За работы по уравнению состояния плазмы профессор физ.-фака МГУ
А.А.Власов получил Ленинскую премию, но только после того, как умер Л.Д.Ландау,
который имел свое уравнение состояние плазмы без дальнего порядка. В настоящее
время нет ни одного учебника физики, в котором кристаллография была бы изложена
без ошибок. По этой причине физики самого высокого уровня считают
кристаллографию экспериментальной наукой, а федоровские группы у них до сих пор
считаются "так называемыми" [16]. Современная геометрия также не
может быть изложена на должном уровне без кристаллографии. "Кроме
кристаллов с симметрией такого типа, часто встречаются кристаллы обладающие
винтовой симметрией" пишут авторы [17, стр 174]. В [7] этот вопрос
представлен гораздо строже.
Но еще хуже стало обстоять дело в
современных учебниках кристаллографии. Например в "Кристаллографии",
выпущенной 1992 г. геологическим факультетом МГУ под редакцией чл.корр. РАН
В.С.Урусова утверждается, что тетрагональная упаковка шаров на плоскости -
плотнейшая (Рис.123). Поэтому появление школьного учебника геометрии,
основанного на правильности, поднимет культурный уровень не только школьного
преподавания, а и всей науки.
Заметим теперь, что двумерные федоровские группы симметрии
были найдены задолго до их открытия наукой [18, 19]. Уже в конце первого
тысячелетия ими стали украшать мечети, символизируя ими бесконечные пути,
ведущие к Аллаху, как к недостижимому пределу абстрактного мышления.
Возникновение Ислама привело к бурному
развитию наук в арабских государствах, который продолжался до завоевания этих
государств кочевниками.
Таким образом, симметрийный подход к изложению школьного
курса геометрии, который собственно и начат был Федоровым в его знаменитой
книге [2], охватывает все стороны человеческой культуры, что собственно и
является главной целью любого школьного учебника.