Б. А. Венков   (Ленинград) и Б. Н. Делоне (Москва)

О   ПРАВИЛЬНЫХ   РАЗБИЕНИЯХ   ПРОСТРАНСТВ

Правильное   разбиение   пространств (regulare  

довольно употребительное понятие в геометрии,

в физике и в кри­сталлографии, однако до сих пор собственно никакой общей теории этих разбие­ний построить не удавалось. За последние годы удалось построить общую теорию таких разбиений евклидовых пространств [1].

Начнем с рассмотрения некоторых основных понятий, с которыми нам при­дется иметь дело.

Замыкание конечной области пространства мы будем называть телом. Распо­ложение в пространстве одинаковых или различных тел, при котором они по­парно не имеют общих внутренних точек, называется упаковкой этих тел. Изве­стны, например, работы Минковского о плотнейших упаковках одинаковых и параллельно расположенных выпуклых тел, центры тяжести которых образуют решетку, или работы Коркина—Золотарева, Вороного и Блихфельда о плотней­ших упаковках одинаковых re-мерных шариков и т. д. Если тела расположены так, что они покрывают все рассматриваемое пространство, но могут и накрывать друг друга, расположение называется покрытием. Теории покрытий плоскости посвящена, например, книга F. Toth'a. Если же тела расположены так, что они накрывают все пространство, но попарно не имеют общих внутренних точек, то их совокупность называется разбиением пространства. Упаковки, в особенности плотнейшие, и разбиения, в основном правильные (см. ниже), имеют большое значение в физике, кристаллографии и теории информации, а покрытия, в осо­бенности самые разреженные,—в теории информации и в теории приближенных вычислений. В настоящем докладе мы будем рассматривать разбиения разных метрических пространств. Самыми важными по своим приложениям являются пока разбиения двумерной сферы, плоскости Евклида, плоскости Лобачевского и трех­мерного евклидова пространства.

Если тела разбиения — выпуклые, то они — многогранники с конечным или бес­конечным числом граней. Если эти многогранники смежны по целым (п — 1)-мерными граням, то разбиение называется нормальным.

Два любых нормальных разбиения называются топологически одинаковыми, если имеется такое топологическое отображение одного разбиения на другое, при котором совокупность тел первого разбиения взаимно однозначно отображается на совокупность тел второго, совокупность (п — 1)-мерных граней первого взаимно однозначно отображается на совокупность (га — 1)-мерных граней, второго и т. д.; наконец, совокупность вершин первого взаимно однозначно отображается на сово­купность вершин второго с сохранением всех инцидентностей в обе стороны. Тела, их (п — 1)-мерные, (п — 2)-мерные грани и т. д. называются элементами разбиения.

Пусть Е — (r,R)-система точек, т. е. такая что существует г>0, при кото­ром внутри шарика радиуса г, описанного вокруг любой точки Е, нет других точек Е, и R>0, такое что где бы ни взять центр шара радиуса R, в нем есть хоть одна точка системы Е. Совокупность D_{A E} точек пространства, из которых каждая не дальше от точки А системы Е, чем от любой другой точки системы Я, называется областью действия, или 1-й зоной Бриллуэна, или областью Дирихле точки А в сизтеме Е. Совокупность областей Дирихле всех точек системы Е обра­зует некоторое нормальное разбиение пространства, которое называется разбие­нием Дирихле для системы Е. Далеко не всякое нормальное разбиение простран­ства является разбиением Дирихле.

Если группа G всех тех движений рассматриваемого пространства, которые совмещают разбиение само с собой, такова, что какие бы два тела разбиения ни взять, в группе G есть хотя бы одно движение, при котором первое из этих тел переходит во второе, то разбиение называется правильным, а его тела —• стерео-эдрами. Разбиение {S} может быть таким, что подгруппа gq группы G, отобра­жающая некоторый его фиксированный стереоэдр S₀ на себя имеет порядок Z>1.

49

В таком случае всякий S_t переводится в другой фиксированный Sj разбиения ровно I различными движениями из G. Если G имеет транзитивную относительно стереоэдров S подгруппу G, у которой 1=1, то G называется фундаментальной группой разбиения {S}. Некоторые правильные разбиения имеют и иногда даже по нескольку различных фундаментальных трупп, а некоторые другие (например, икосаэдрическое разбиение двумерной сферы) вовсе не имеют фундаментальных групп; поэтому понятие «правильное разбиение» не покрывается понятием «раз­биение на фундаментальный области для дискретной группы движений, имеющей конечную фундаментальную область».

Пусть дано некоторое правильное разбиение {S} и фиксирована некоторая подгруппа Gi его группы G, транзитивная относительно его стереоэдров S, фун­даментальная (т. е. с ti=i) или нет (т. е. с /_i>1). В таком случае пару (S, Gi) мы будем называть правильным разбиением {S} с действующей на нем группой G;, или просто разбиением {S}, огруппленным группой gi. Два огруппленных раз­биения |S, Gi и S' , Gj мы относим к одному и тому же сорту тогда ж только тогда, когда разбиения {S} и {S'} топологически одинаковы, группы G₍ и g'j изо­морфны и можно так установить этот изоморфизм и так выбрать топологическое отображение {S} на [S'}, что если g из G_t переводит некоторый элемент {S} в некоторый другой его элемент, то соответствующее ему движение g из G . пере­водит элемент, соответствующий первому из них, в элемент, соответствующий второму из них, и обратно.

Вот основные понятия теории разбиений. Рассмотрим теперь важнейшие при­ложения правильных разбиений.

Изоэдры — это выпуклые многогранники, группы поворотов которых (1-го или 1-го ж 2-го рода) вокруг их центров тяжести, совмещающих их с собой, таковы, что какие бы две грани многогранника ни взять, в этой группе есть по крайней мере хоть один поворот, при котором первая из этих граней переходит во вто­рую. При проектировании такого изоэдра на концентрическую ему сферу (из центра этой сферы) получается нормальное правильное разбиение сферы. Из фор­мулы Эйлера r — р + Ь = 2 в случае изоэдра мы имеем.

где г, р, b — числа граней, ребер и вершин, k — число сторон грани изоэдра, а а_г, а₂, . . .,  — числа граней изоэдра, сходящихся в вершинах грани. Решая это неопределенное уравнение в целых числах r>= 4, k>= 3, ai>=3, мы получаем ряд решений. Проверяя каждое из решений, мы убеждаемся, что некоторые из них не дают изоэдров, а другие дают, и получается 18 индивидуальных топологи­чески различных изоэдров и две весьма простые бесконечные их серии.

Всякая бесконечная во все стороны монокристаллическая структура, как это следует из теории федоровских групп, имеет вполне определенную конечную группу поворотов в себя, т. е. таких поворотов вокруг точки (плюс, может быть, еще параллельные переносы на весьма малые межатомные расстояния), после которых она в точности совмещается с собою. Поэтому в отношении всех тех макросвойств, при которых межатомными переносами можно пренебречь, кристалл инвариантен' относительно этой группы. Эта группа есть, оказывается, либо пол­ная группа поворотов (1-го и 2-го рода) куба в себя, либо полная группа пово­ротов правильной шестиугольной призмы в себя, либо одна из подгрупп какой-нибудь из этих групп, т. е. одна из 32 так называемых «точечных» кристаллогра­фических групп G.

Если выращивать кристалл из очень маленькой (как песчинка) затравки и все время поворачивать кристаллизатор так, чтобы избавиться от действия силы тяжести, то вырастает так называемый «идеальный» кристалл. Если он будет иметь некоторую грань, то он, очевидно, будет иметь и грань, получаемую иа нее любым поворотом его группы G относительно затравки. Совокупность этих граней образует так называемую простую форму кристалла, которая является,

50

очевидно, изоэдром. Реальный кристалл может быть комбинацией (пересечением) нескольких (обычно очень небольшого числа: двух, трех) таких простых форм. Ввиду того, что у групп куба и 6-угольной призмы нет пятерных поворотных осей симметрии и осей с наименованием, большим 6, то из всех специальных упо­мянутых выше изоэдров подходят только (если не считать дважды топологически одинаковых) все тетроэдры (простой, пирамидальный, барицентрический, гироид-ный и пирамидально-барицентрический), все октаэдры и куб, а из бесконечных серий в первой подходят только значения га = 3, 6, 8, 12 и во второй — значения ге = 4, 6. Всего получается 5+5+l+4+2 = 17 топологически разных изоэдров, встречающихся в кристаллографии.

При различных  метриках   эти 17 изоэдров распадаются на 30 сортов, если их огрупплять полными метрическими группами совмещений с собою. Эти 30 метрических^: сортов и представляют собою знаменитые 30 различных  (различных в смысле ме­трического   сорта)   замкнутых   простых   форм   кристаллов,   каждая  из   которых имеет   вполне   определенное   название,    например:    тетрагональный   скаленоэдр, -. или ' тригональный   трапецоэдр,   или   пентагон-тритетраэд,    или   дидодекаэдр   и т. д. Кроме того,   есть  еще  17 различных  сортов  открытых  простых  форм кри­сталлов.

Все эти простые формы и их названия хорошо знает не только любой кри­сталлограф, но и любой минералог.

Разбиения Дирихле для решетки. Решеткой, или правильной системой точек (Lattice-Punctgitter), называется совокупность всех точек с це­лыми рациональными координатами относительно некоторого декартова коорди­натного репера. Этот репер называется основным репером решетки. При разных метриках репера решетка имеет разные полные группы движений, совмещающих ее с собою. Таких групп 14. Они дают знаменитые 14 параллелепипедов Браве, столь важных в кристаллографии. Изучение решетки можно заменить изучением ее разбиения Дирихле. Как это показал Б. Н. Делоне еще в 1932 г., разбиения Дирихле трехмерных решеток в зависимости от метрики решетки разделяются на 24 различных метрических сорта. Две решетки, принадлежащие одному и тому же сорту Б. Н. Делоне, и подавно принадлежат одному и тому же типу Браве, но некоторые из типов Браве разбиваются на несколько сортов Б. Н. Делоне. Ко­нечный алгорифм приведения Зеллинга дает возможность перейти от какого-либо основного репера решетки к такому другому основному реперу этой же решетки (так называемому приведенному), который, как показал Б. Н. Делоне, однозначно связан с областью Дирихле решетки и по которому немедленно обнаруживается, какому из 24 сортов принадлежит решетка. Найдя сорт, моментально узнаем, какой параллелепипед Браве из 14 имеется у решетки, и по готовым форму­лам по значениям параметров Зеллинга приведенного символа вычисляем его константы.

Этот метод Б. Н. Делоне принят теперь в международном справочнике по структурной кристаллографии и при помощи его перевычислены (в международном компендиуме «Crystall data») все 6500 известных сейчас структур.

Кроме этих важнейших практических приложений, большую роль сыграли те правильные разбиения плоскости Лобачевского, у которых группы состоят только из движений 1-го рода. Идея положить в основу теории автоморфных функций эти разбиения и есть основная идея знаменитого мемуара Пуанкаре о фуксовых груп­пах [2].

Общие нормальные разбиения плоскости Евклида, так называемые сетки Laves'а, употребляют в кристаллографии и химии; топологически различных та­ких сеток 11. Они выводятся совсем аналогично тому, как выводятся изоэдры. Б. Н., Делоне показал [3J, что если исследовать вопрос комбинаторно-топологи­чески и рассмотреть фундаментальные сорта этих сеток, то получается чисто то­пологическое обоснование всей двумерной кристаллографии.

Общие нормальные правильные разбиения даже трехмерного евклидова про­странства до сих пор вовсе не поддавались исследованию. Обширные исследования были проведены лишь для случая параллелоэдров, т. е. когда группой G является просто группа Т параллельных переносов в евклидовом пространстве Rⁿ. Пять

4*

51

трехмерных параллелоэдров впервые были найдены Е. С. Федоровым, который не только предполагал нормальность разбиения, но и то, что параллелоэдры имеют центры симметрии. Трудную теорему о том, что параллелоэдр непременно имеет центр симметрии, доказал Минковский при помощи своей знаменитой теоремы един­ственности для выпуклых многогранников.

Г. Ф. Вороной в обширной и глубокой работе [4] подробно исследовал ге-мер-ные разбиения Дирихле для решеток и дал конечный алгорифм для 'разыскания при данном п возможных топологий и метрик этих разбиений. Он использовал при этом известный принцип Эрмита в 1/₂ n (n+ 1)-мерном пространстве коэффициен­тов квадратичной формы. Кроме алгорифма, работа [4] содержит еще глубокие теоретические факты, получение которых связано уже с принципами анализа бес­конечно малых (рассыпание по всему пространству Rⁿ весьма мелкой решетки), например, неравенство, дающее верхний предел для числа S,, v-мерных граней об­ласти Дирихле (при v = n — 1 оно переходит в известное неравенство Минковского S_n-1<=<^2(2^№-1)). Наконец, в первой части работы [4] Вороной замечательным ме­тодом доказал, что любое нормальное разбиение пространства Rⁿ на нараллелоэдры, у которых все сходы в вершинах примитивны (т. е. во всякой вершине сходится п + 1 параллелоэдров), есть аффинный образ разбиения Дирихле для некоторой решетки.

Б. Н. Делоне в работе [5] подробно изучил трехмерные и нашел все нормаль­ные четырехмерные параллелоэдры (их оказалось 51). Все 6 ненормальных четы­рехмерных параллелоэдра были найдены А. Д. Александровым [6]. О. К. Жито­мирский (1929 г.) ослабил несколько условия упомянутой выше теоремы Вороного, а именно, доказал, что всякий параллелоэдр, у которого все сходы в (п — 2)-мер-ных гранях примитивны, является аффинным образом области Дирихле.

Из указанной выше теоремы Минковского о многогранниках и простых геоме­трических соображений выводятся следующие свойства параллелоэдра (как нор­мального, так и ненормального): 1) он имеет центр (т. е. центр симметрии), 2) вся­кая его (п — 1)-мерная грань имеет центр, 3) проекция его параллельно любой (п—2)-мерной грани есть также параллелоэдр (двумерный), т. е. либо паралле­лограмм, либо шестиугольник с центром. В работе [7] Б. А. Венков доказал, что эти необходимые условия являются и достаточными, т. е. что всякий выпуклый в-мерный ограниченный многогранник в Rⁿ, удовлетворяющий этим условиям, есть нормальный параллелоэдр. Отсюда, в частности, вытекает, что всякий ненор­мальный параллелоэдр Р есть вместе с тем нормальный, т. е., прикладывая по­следовательно экземпляры многогранника Р друг к другу по целым (га — 1)-мер-ным граням, мы не получим наложений и заполним все пространство Rⁿ. А. Д. Александров [8] широко обобщил результаты работы [7] и доказал, что при весьма общих случаях прикладывания многогранников по (п — 1)-мерным граням отсутствие налеганий в звезде многогранников, сходящихся в любой (п — 2)-мер-ной грани, гарантирует отсутствие налеганий в целом.

' Вопросу о проектировании параллелоэдров посвящена работа В. А. Вен-кова [9]. Пусть R^r r-мерная плоскость в Л^п(0<^г<^п). Мы говорим, что паралле­лоэдр Р имеет ненулевую толщину в направлении R^r, если пересечение Р с каждой плоскостью R^, параллельной R^r, или пусто или г-мерно (это определение для частного случая га = 4, г=1 было введено в указанной выше работе Делоне [5]). Нетрудно доказать, что проекция Р параллельно такой плоскости R^r есть (п—г)-мерный лараллелоэдр. Более глубоким фактом является то обстоятельство, что векторы, идущие из центра Р в центры тех его (п — 1)-мерных граней, плоскости которых параллельны Д^г, образуют (при сложении и вычитании их) (га— /^-мер­ную решетку векторов в Rⁿ.

Таков краткий конспект исследований, проведенных для параллелоэдров.

Но теория стереоэдров даже для трехмерного евклидова пространства до по­следнего времени не была разработана. Лишь в самые последние годы Б. Н. Де-•лоне совместно со своей ученицей Н. Н, Сандаковой построил совершенно закон­ченную общую теорию правильных разбиений Дирихле re-мерного евклидова про­странства. Эти разбиения, —по-видимому, самые важные для физиков. Б. Н. Де-

52

лоне и Н. Н. Сандакова дали конечный алгорифм для равыскания топологии таких разбиений и их возможной метрики для любого фиксированного п. Хотя случай, рассмотренный Вороным, является лишь частным случаем этой общей теории, последняя, пожалуй, даже проще алгорифма Вороного.

Кратко остановимся на основных идеях, на которых построено исследование этих авторов.

Метод пустого шара. Пусть Е re-мерная (хотя бы и не правильная) (r,R)-система точек. Рассмотрим re-мерный шар, увеличивающийся, уменьшаю­щийся и как угодно передвигающийся между точками системы Е, на который на­ложено только одно условие: быть «пустым», т. е. не содержать внутри себя точек Е. Если такой шар имеет на себе re-мерную систему точек из Е, мы его на­зываем шаром (L), а выпуклую оболочку всех точек из Е, на нем лежащих, мно­гогранником L.

Лемма 1. Совокупность {L} всех многогранников L системы Е образует не­которое нормальное разбиение.

Лемма 2. Разбиение {D} Дирихле системы Е и топологически и в некотором смысле метрически дуально разбиению {L} и поэтому легко может быть построено при помощи последнего.

Лемма 3. Для того чтобы шар, имеющий на своей поверхности некоторую точку А системы Е, был в Е пустой, достаточно, чтобы в нем не лежала ни одна вершина ни одного многогранника L «звезды» L_A точки А в разбиении {L}. (Звез­дой некоторой вершины разбиения называется совокупность многогранников раз­биения, облегающих эту вершину). Если разбиение Дирихле {D_E} — правильное, то группа G его совмещений с собою совмещает с собою и систему Е, т. е. си­стема Е есть не что иное, как совокупности всех точек A_G, получающихся из не­которой точки А всеми движениями группы G. Если пространство — евклидово, то G будет так называемой федоровской группой. В силу теоремы Бибербаха вся­кая такая группа G имеет га-мерную подгруппу Т параллельных переносов, при­чем индекс h этой подгруппы относительно G ограничен в зависимости только от п.

Для правильных разбиений Дирихле и-мерного евклидова пространства имеют место еще следующие теоремы.

Теорема 1. Звезда L_A лежит внутри подобно расширенной в два раза (из центра ^4) области Дирихле D_{A т} точки А в решетке Т.

Теорема 2 (Сандаковой). Если основной репер решетки А_т приведен по Минковскому, то координаты относительно него всех точек «ортогонального» ему параллелепипеда (а следовательно, и области 2D_A>T, которая есть его часть), т. е. параллелепипеда, (п — 1)-мерные плоскости граней которого проходят через концы векторов этого репера и им обратных и перпендикулярны к этим векторам, огра­ничены в зависимости только от га.

В силу этих двух теорем оказывается возможным найти некоторое множество точек системы Е = АG (в конечном числе), среди которых заведомо лежат все вер­шины всех многогранников L «звезды» L_A. А тогда, записывая аналитически урав­нения сфер, проходящих через каждые n+1 некомпланарных из этих точек и исследуя, лежат ли другие из этих точек в этих сферах, в силу леммы 3 можно вычислением найти саму «звезду» L_A, а следовательно, и интересующее нас раз­биение (D_A/\.

Если m — число свободных метрических параметров группы G, то число пара­метров (при заданной абстрактно G) нашей задачи равно m -f- га (т этих параме­тров и п координат точки А по отношению к тому реперу, в котором мы записы­ваем G). В пространстве этих m -\- га параметров может быть выделена такая конечная приведенная область {М}, что все исследование сведется к рассмотрению только ее точек. Дается вычислительный алгорифм, позволяющий найти эту об­ласть и разрезать ее конечным числом алгебраических поверхностей на такие фа­зовые куски в конечном числе, что пока точка jd лежит в одном и том же куске, сорт разбиедия ID_A \ остается один и тот же. Для п = 2 все эти вычисления пол­ностью проделаны, а для л = 3 пока только для 10 из 219 групп G.

53

В самое последнее время Б. Н. Делоне доказал следующую основную теорему для разбиений не тжпа Дирихле.

Теорема. Число различных сортов самых общих нормальных правильных разбиений re-мерного евклидова пространства не больше чем некоторое число, за­висящее только от п. Ввиду краткости доказательства этой фундаментальной тео­ремы приведем его полностью.

Замечание 1. Для доказательства ограниченности числа сортов правильных разбиений евклидова пространства в зависимости от п достаточно доказать ограни­ченность в зависимости от п числа (п — 1)-мерных граней стереоэдров S этих раз­биений {S_a}. Нетрудное доказательство этого факта мы опускаем.

Замечание 2. Стереоэдры S разбиения разделяются на Ъ! попарно не имею-

щих общих стереоэдров «решеток стереоэдров», где я' = -г , если I есть число дви­жений из G, которые преобразуют некоторый фиксированный стереоэдр S в себя.

Решеткой стереоэдров мы называем .некоторый стереоэдр разбиения и все те стереоэдры S_T, которые из него получаются подгруппой Т параллельных пере­носов группы G.

Доказательство теоремы. Пусть S — некоторый стереоэдр разбиения, и его касалось бы больше чем 2" стереоэдров из некоторой решетки стереоэдров по (n — 1)-мерным граням. Тогда среди них была бы хоть одна пара стереоэдров, такая что соответственные координаты их центров тяжести (по отношению к ос­новному реперу этой решетки, начало которого лежит в центре тяжести одного жз ее стереоэдров) были бы сравнимы (Mod 2), так как различных рядов остатков (Mod2)re целых чисел имеется 2". Например, если n= 3, то это

(0, 0, 0)(0, 0, 1)(0, 1. 0)(1, 0, 0) (0, 1, 1)(1, 0, 1)(1, 1, 0)(1, 1, 1). Вектор, идущий из центра тяжести одного стереоэдра этой пары в центр тяжести другого, имел бы все свои координаты четные (так как координаты такого вектора суть разности координат его концов). Половина этого вектора, следовательно, была бы вектором t с целыми координатами, т. е. вектором из Т. Поэтому была бы такая ситуация: в исследуемой решетке стереоэдров были бы три стереоэдра Si, 5₂, Sy, такие что S₂ получается жз 8_г переносом на t, S₃ получается жз S_z тем же переносом t, и Si и S₃ касаются рассматриваемого S по некоторым (п — 1)-мерным граням а и b.

Пусть А и В—внутренние точки граней а та Ъ. Обозначим через ai и А₂ точки, полученные переносом А на векторы t и 2t, через bi и Д₂ — переносом В на векторы —t и —2t. Четырехугольник АА^ВВ^ есть параллелограмм, A^Bi — его средняя линия, АВ — его диагональ. Заметим, что отрезок, соединяющий внутрен­ние точки двух различных (п — 1)-мерных граней выпуклого многогранника, лежит (за исключением концов) внутри многогранника. Поэтому середина С отрезка АВ лежит внутри S. Вместе с тем точка С является серединой отрезка AiBi и по­этому принадлежит 5₂; так как мы рассматриваем разбиение пространства, то

и = о 2>

Таким образом, если рассматриваемая решетка стереоэдров не содержит S, то S может касаться по (ге — 1)-мерным граням не более чем 2" ее стереоэдров; если же S входит в эту решетку — то не более чем 2 (2^п — 1), так как тогда (если принять центр тяжести S = S₂ за начало) координаты центров тяжести S1S₃ от­личаются лишь множителем —1 и не могут быть все четными. Итак, число (п — 1)-мерных граней стереоэдра не больше чем 2 (2ⁿ — 1) + (h' — 1) • 2ⁿ, что и доказывает теорему.

За недостатком времени мы не могли остановиться на некоторых других рабо­тах, связанных с правильными разбиениями пространств; о них см. в обзорном докладе Б. А. Венкова «Метрика Лобачевского и метрика Вороного в геометржи чисел» на III Всесоюзном математическом съезде [10].

ЛИТЕРАТУРА

1 Б.Н.Делоне и Н.Н.Сандакова, Труды Матем. инст. им. В. А. Стек-лова, т.64 (1961), 28—51. 2. Н. Poincare, Acta Math., т. I, 1 (1882). 3. Б. Н. Де­лоне, ИАН СССР, сер. матем., 23 (1959), 365—386. 4. Г. Ф. Вороной, Собр.

54

•('

соч., т. 2, Киев (1952), 239—368. 5. В. Delaunay, ИАН СССР, сер. матем., № 1 (1929), 79—110; № 2, 147—164. 6. А. Д. Александров, ИАН СССР, сер. матем., № 6 (1934), 803—817. 7. Б. А. Венков, Вести. ЛГУ, сер. матем., физ. и химии, № 2 (1954), И—31. 8. А. Д. Александров, Вестн. ЛГУ, сер. матем., физ. и химии, № 2 (1954), 33—44. 9. Б. А. Венков, Матем сб., т. 49/91 (1959), 207—224. 10. Б. А. Венков, Труды III Всесоюзн. матем. съезда, т. 3, Изд. АН СССР, М. (1958), 14—21.